Jis gimė 1939 metais birželio 27 dieną Meldiniuose, Rozalimo valsčiuje, Panevėžio apskrityje. Mokėsi Rozalimo vidurinėje mokykloje. 1964 m. baigė Vilniaus universiteto Istorijos-filologijos fakulteto žurnalistikos specialybę.
1964-1975 metais dirbo laikraščio „Komjaunimo tiesa" redakcijoje korespondentu, skyriaus vedėju. Buvo LŽS narys.
Studijuodamas Vilniaus universitete susižavėjo savigynos imtynėmis ir pradėjo lakyti treniruotes. Šios sporto paslapčių jį mokė pirmasis treneris Pranciškus Eigminas. Talentingas sportininkas, 1964 metais baigdamas VU, pirmą kartą tapo Lietuvos čempionu svorio kategorijoje iki 60 kg.
Po to Lietuvos čempionu L. Aleksiejūnas tapo dar keturis kartus (1966-1969 metais svorio kategorijoje iki 58 kg).
Jis buvo pirmasis trenerio P. Eigmino auklėtinis, 1965 metais įvykdęs SSRS sporto meistro normą.
Savo sportinę karjerą L. Aleksiejūnas sėkmingai derino su darbu „Komjaunimo tiesoje", daug rašė apie savo mėgstamą sambo sporto šaką.
L. Aleksiejūnas buvo ilgametis Lietuvos sambo imtynių federacijos prezidiumo narys, nuo 1967 metų - Auklėjimo ir propagandos, žiniasklaidos komisijos pirmininkas, o vėliau - komunikacijos vadovas.
1976-1997 jis buvo savaitraščio „Gimtasis kraštas" publicistikos, laiškų, išeivijos sporto skyriaus vedėjas, redaktorius, daugiausia rašė apie užsienio lietuvių gyvenimą ir sporto temomis.
Nuo 1997 metų L. Aleksiejūnas buvo laisvasis žurnalistas. Jis - Lietuvos sporto žurnalistų federacijos narys, o pastaraisiais metais - Garbės narys.
2006 metais sausio 4 dieną mirus ilgamečiam Lietuvos sambo federacijos prezidentui P. Eigminui pradėti rengti tarptautiniai memorialiniai jo vardo turnyrai, kuriuose L.Aleksiejūnas visada lankydavosi ir pagerbdavo savo trenerį.
Jau patekęs į ligoninę, L. Aleksiejūnas ypač džiaugėsi pernai gruodžio mėnesį išleista knyga „Pranciškus Eigminas - Lietuvos sambo legenda" apie jo trenerį, kurią atnešė į ligoninę atėję aplankyti sambo draugai.
Toje knygoje L. Aleksiejūnas daug šiltų žodžių skyrė savo treneriui, pasidalijo mintimis, kaip jie treniravosi ankštose VU sporto salės patalpose, koks buvo jų didžiulis entuziazmas plėtoti mėgstą sporto šaką ir siekti gerų rezultatų.
